Figlio dell'ex campione rallycross, Franz Wurz, Alex vinse il campionato BMX nel 1988, prima di iniziare ad interessarsi alle quattro ruote. Dopo un paio di anni nel karting, il pilota austriaco corse in Formula Ford e F3 tedesca. Nel 1996 Wurz era impegnato in varie categorie motoristiche. L'apogeo dell'annata fu la vittoria a Le Mans con la Joest Porsche WSC95. Seguirono dei test con Sauber e Benetton e la sua carriera in F1 era dunque lanciata.

Dopo essere stato assunto nel 1997 dalla Benetton come collaudatore, Wurz fu chiamato per sostituire Gerhard Berger, in quanto quest'ultimo era malato. Fece il suo debutto in F1 a Montreal ritirandosi in seguito ad un problema al cambio, mentre nella gara successiva in Francia uscì di pista. Ma al Gran Premio di Gran-Bretagna ottenne con una grande prestazione il suo primo podio, dietro il compagno di squadra Jean Alesi.

Una volta che Berger ritrovò la forma, Wurz rimase fuori dalla competizione per il resto della stagione, prima di firmare da titolare col team. Wurz concluse la sua prima stagione intera all'ottava piazza con i quarti posti in Brasile, Argentina, Spagna, Canada e Gran-Bretagna, ed un quinto posto in Francia. La sua stagione fu ricordata in particolare per la sua lotta a Monaco con Michael Schumacher ed il suo spettacolare incidente al via del GP del Canada.

Il 1998 fu dunque un'annata positiva per Alex, mentre l'anno seguente arrivò solo due volte in zona punti. Nel 2000 ottenne punti solo ad Imola e l'austriaco fu escluso dal duo di titolare a fine stagione.

Fece seguito comunque una carriera alla McLaren Mercedes come collaudatore. Alcune voci che lo volevano in Jaguar non portarono a nulla e Wurz rimase impegnato dietro le quinte nel ruolo di collaudatore.

Cinque anni dopo i suoi ultimi punti segnati a San Marino, la McLaren chiamò Wurz per sostituire l'infortunato Montoya. La gara solida disputata sull'autodromo imolese confermò che l'austriaco non aveva perso nulla del suo stile aggressivo. Portò la sua McLaren all'arrivo in terza posizione, segnando in questo modo il suo secondo podio in carriera.

Fu comunque l'unica opportunità per correre ed a fine stagione Alex lasciò la scuderia di Woking per assumere il ruolo di collaudatore in seno alla Williams. Quella mossa ha sorpreso molta gente all'epoca, ma è presto stato annunciato che Wurz avrebbe assunto il ruolo di titolare nel 2007, affiancando Nico Rosberg. Dopo 53 partenze, Wurz torna finalmente a gareggiare.

Nonostante abbia conquistato un podio nella caotica gara di Montreal ed il quarto posto al Nurburgring, il campionato di Wurz è stato abbastanza deludente, l'austriaco ha sofferto in modo particolare in qualifica. Dopo il GP della Cina della scorsa stagione, la Williams ha promosso a titolare il giovane Kazuki Nakajima che ha sostituito Wurz in Brasile.

Nel 2008 Alexander sarà collaudatore per la Honda.